Question

已知數列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求數列{a_n}的通項a_n；
(2)若數列{b_n}滿足b_n＝(3ⁿ－1)a_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）－1＜λ＜2

(1)由題知，＋1，
∴＋＝3，
∴＋＝·3^n－1＝，∴a_n＝.
(2)由(1)知，b_n＝(3ⁿ－1)·＝n· ^n－1，
T_n＝1×1＋2× ¹＋3× ²＋…＋n· ^n－1，
 T_n＝1×＋2× ²＋…＋(n－1)  ^n－1＋n ⁿ，
兩式相減得，
 T_n＝1＋＋＝2－，∴T_n＝4－.
∵T_n＋1－T_n＝＞0，
∴|T_n|為遞增數列．
①當n為正奇數時，－λ＜T_n對一切正奇數成立，
∵(T_n)_min＝T₁＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；
②當n為正偶數時，λ＜T_n對一切正偶數成立，
∵(T_n)_min＝T₂＝2，∴λ＜2.
綜合①②知，－1＜λ＜2.