Question

若關于x的不等式≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，則實常數λ的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：關于x的不等式≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，等價于≥ 對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，由=，知對 x∈（-∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范圍．
解答：解：關于x的不等式≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
等價于≥ 對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
∵=，
∴對 x∈（-∞，λ]恒成立．
設，它的圖象是開口向上，對稱軸為x=-的拋物線，
∴當x≤-時，左邊是單調減的，所以要使不等式恒成立，則λ²+，
解得λ≤-1，或（舍）
當x＞-，左邊的最小值就是在x=-時取到，
達到最小值時，=，不滿足不等式．
因此λ的范圍就是 λ≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．
點評：本題考查函數恒成立問題的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．