Question

設函數y=f(x)=ax+

1

x+b

(a≠0)的圖象過點（0，-1）且與直線y=-1有且只有一個公共點；設點P（x₀，y₀）是函數y=f（x）圖象上任意一點，過點P分別作直線y=x和直線x=1的垂線，垂足分別是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心Q；
（3）證明：線段PM，PN長度的乘積PM•PN為定值；并用點P橫坐標x₀表示四邊形QMPN的面積．．

Answer 1

分析：（1）將（0，-1）代入f（x）；將f（x）與y=-1得到的方程只有一個解，判別式為0；列出方程組求出a，b，求出解析式．
（2）利用函數圖象的變換規律得到f（x）是有g（x）的圖象平移得到，得到對稱中心．
（3）求出交點坐標，表示出兩點的距離，求出距離的乘積；利用三角形的面積公式求出平行四邊形的面積．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ax+

1

x+b

（a≠0）的圖象過點（0，-1）
∴f（0）=-1得b=-1
所以f（x）=ax+

1

x+1

，（2分）
∵f（x）的圖象與直線y=-1有且只有一個公共點
∴-1=ax+

1

x+1

只有一解即x[ax+（a-1）]=0只有一解∴a=1
∴f（x）=x+

1

x-1

（4分）
（2）證明：已知函數y₁=x，y₂=

1

x

都是奇函數．
所以函數g（x）=x+

1

x

也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．
而f（x）=x-1+

1

x-1

+1
可知，函數g（x）的圖象向右、向上各平移1個單位，即得到函數f（x）的圖象，
故函數f（x）的圖象是以點Q（1，1）為中心的中心對稱圖形．（9分）
（3）證明：∵P點(x0，x0+

1

x0-1

)
過P作PA⊥x軸交直線y=1于A點，交直線y=x于點B，
則QA=PN=AB=x₀-1，QB=

2

(x0-1)．
PA=y_P-1=x₀-1+

1

x0-1

，∴PB=PA-AB=

1

x 0-1

，
∴PM=BM=

2

2

PB=

1

2 (x0-1)

．
∴PM•PN=

1

2 (x0-1)

．（x₀-1）=

2

2

為定值．（13分）
連QP；∵QM=QB+BM=

2

(x0-1)+

1

2 (x0-1)

，
∴S_△QMP=

1

2

QM×PM=

1

2

×
[

2

(x0-1)+

1

2 (x0-1)

].

1

2 (x0-1)

=

1

2

+

1

4(x0-1)2

又S_△QNP=

1

2

NP×PA=

1

2

（x₀-1）．（x₀-1+

1

x0-1

）=

1

2

(x0-1)2+

1

2

∴S_QMPN=

1

2

(x0-1)2+

1

2

+

1

2

+

1

4(x0-1)2

=

1

2

(x0-1)2+

1

4(x0-1)2

+1（16分）

點評：本題考查待定系數法求函數的解析式、圖象的平移變換、點到直線的距離公式、三角形的面積公式．