Question

（本題滿分14分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

       （I）求證：平面BCD；

       （II）求異面直線AB與CD所成角的余弦；

       （III）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

(Ⅰ) 略(Ⅱ) （Ⅲ）

解析:

：方法一：

       （I）證明：連結OC

       ………1分

      

       在中，由已知可得

       而   

       即……………3分

        又

      平面……………5分

       （II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

       直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。……………6分

        在中，

       ……………7分

       是直角斜邊AC上的中線，

     ……………8分

       異面直線AB與CD所成角大小的余弦為；……………9分

       （III）解：設點E到平面ACD的距離為

              ……………11分

在中，

         ……………12分

而……………13分

         

點E到平面ACD的距離為……………14分

       方法二：

       （I）同方法一．……………5分

       （II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則………………6分

       …………7分

………9分

      

異面直線AB與CD所成角大小的余弦為；……………10分

       （III）解：設平面ACD的法向量為則     

…11分      

       令得是平面ACD的一個法向量．……12分

       又 點E到平面ACD的距離……14分