Question

已知f（x）=

kx+1，x≤0 lnx x ，x＞0

，則關于F（x）=f（f（x））+a的零點個數，判斷正確的是（　　）

• A、k＜0時，若a≥e，則有2個零點
• B、k＞0時，若a＞e，則有4個零點
• C、無論k為何值，若-

  1

  e

  ＜a＜0，都有2個零點
• D、k＞0時，若0≤a＜e，則有3個零點

Answer 1

考點：分段函數的應用,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：因為函數f（x）為分段函數，函數y=f（f（x））+a為復合函數，故需要分類討論，確定函數y=f（f（x））+a的解析式，從而可得函數y=f（f（x））+a的零點個數；

解答：解：∵f（x）=

kx+1，x≤0 lnx x ，x＞0

，
（1）x＞1時，lnx＞0，

lnx

x

＞0，
∴y=f（f（x））+a=

ln lnx x +a lnx x

lnx x

，此時的零點為x=1不滿足要求，
（2）0＜x＜1時，lnx＜0lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，則k＞0時，有一個零點，k＜0時，klnx+1＞0沒有零點；
（3）若x＜0，kx+1≤0時，y=f（f（x））+1=k²x+k+1，則k＞0時，kx≤-1，k²x≤-k，可得k²x+k≤0，y有一個零點，
若k＜0時，則k²x+k≥0，y沒有零點，
（4）若x＜0，kx+1＞0時，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，則k＞0時，即y=0可得kx+1=

1

e

，y有一個零點，k＜0時kx＞0，y沒有零點，
綜上可知，當k＞0時，有4個零點；當k＜0時，有1個零點；
故選：B．

點評：本題考查分段函數，考查復合函數的零點，解題的關鍵是分類討論確定函數y=f（f（x））+a的解析式，考查學生的分析能力，是一道難題；