Question

探究函數(shù)的最大值，并確定取得最大值時x的值．列表如下：

x	…	-0.5	-1	-1.5	-1.7	-1.9	-2	-2.1	-2.2	-2.3	-3	…
y	…	-8.5	-5	-4.17	-4.05	-4.005	-4	-4.005	-4.02	-4.04	-4.3	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數(shù)在區(qū)間______上為單調(diào)遞增函數(shù)．當x=______時，f（x）_最大=______．
（2）證明：函數(shù)在區(qū)間（-2，0）為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）思考：函數(shù)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于函數(shù)為對勾函數(shù)的左支，根據(jù)已知中的表格中的數(shù)據(jù)，我們易判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（2）取區(qū)間（-2，0）上的任意兩個數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂．根據(jù)函數(shù)，我們判斷出f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到結論．
（3）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)為奇函數(shù)，由（1），（2）的結論，我們易得函數(shù)有最小值，也易得到x為何值時函數(shù)取最值．
解答：解：（1）（-∞，-2）；（2分）
當x=-2時f（x）_最大=-4．（4分）
（2）證明：設x₁，x₂是區(qū)間，（-2，0）上的任意兩個數(shù)，且x₁＜x₂．

=（8分）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（-2，0）
∴0＜x₁x₂＜4
∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函數(shù)在（-2，0）上為減函數(shù)．（12分）
（3）思考：，當x=2時，f（x）_最小=4（16分）
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，其中熟練掌握對勾函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．