Question

(08年龍巖一中沖刺理)（12分）

把圓周分成四等分，A是其中一個分點，動點P在四個分點上按逆時針方向前進．現在投擲一個質地均勻的正四面體，它的四個面上分別寫有1、2、3、4四個數字．P從A點出發，按照正四面體底面上數字前進幾個分點，轉一周之前連續投擲．

(1)求點P恰好返回A點的概率；

(2)在點P轉一周恰能返回A點的所有結果中，用隨機變量表示點P能返回A點的投擲次數，求的分布列和期望．

Answer 1

解析：(1)解：投擲一次正四面體，底面上每個數字的出現都是等可能的，概率為，則：
①若投擲一次能返回A點，則底面數字應為4，此時概率．………………… 2分
②若投擲二次能返回A點，則底面數字依次為(1，3)，(3，1)，(2，2)三種結果，其概率為．……………………………………………………………………4分
③若投擲三次能返回A點，則底面數字依次為(1，1，2)，(1，2，1)，(2，1，1)三種結果，其概率為…………………………………………………………6分
④若投擲四次能返回A點，則底面數字為(1，1，1，1)，其概率為．
故能返回A點的概率為：．……………………………… 8分
(2)解：能返回A點的所有結果共有以上(1)中8種情形，則：
．其分布列為：
所以，期望……………………………………………………………………12分