Question

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F為棱BB₁的中點，M為線段AC₁的中點。

   （1）求證：直線MF∥平面ABCD；

   （2）求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN。因為F是BB₁的中點，所以F為C₁N的中點，B為CN的中點。

又M是線段AC₁的中點，故MF∥AN。

又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

∴MF∥平面ABCD。    

（2）易得BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，

∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。

又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角。

在Rt△C₁AC中，，  

故∠C₁AC=30°

∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°

 

 

【解析】略