Question

【題目】已知橢圓 的離心率 ，焦距為 ．
（1）求橢圓 的方程；
（2）已知橢圓 與直線 相交于不同的兩點 ，且線段 的中點不在圓 內，求實數 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知 解得 又 ， ．

故橢圓的方程為

（2）解：聯立得 消去 可得

則 ．

設 ，則 則

∴ 中點坐標為 ，

因為 的中點不在圓 內，

所以 或 ，

綜上，可知 或

【解析】(1)由離心率的公式代入數值求出a與c的值，代入到橢圓里a2=b2+c2求出a、b的值進而得出橢圓的方程。(2)聯立直線和橢圓的方程消元得到關于x的一元二次函數再由橢圓 C 與直線相交于不同的兩點 M , N，故判別式大于零得出m的取值范圍，再結合韋達定理求出兩根之和與兩根之積的關于m的代數式，再借助中點的坐標公式以及該中點不在圓上代入坐標可得，關于m的不等式解出結果即可。