Question

【題目】如圖，四邊形與均為菱形，，且.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若為線段上的一點，且滿足直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）二面角的余弦值為；（3）.

【解析】分析：（1）由菱形的性質可得，由等腰三角形的性質可得,根據線面垂直的判定定理可得平面；（2）先證明為等邊三角形，可得，于是可以為坐標軸建立坐標系，利用向量垂直數量積為零，列方程組求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果；（3）設由直線與平面所成角的正弦值為，利用空間向量夾角余弦公式列方程求得，從而可得結果.

詳解：（1）設與相交于點，連接，

∵四邊形為菱形，∴，

且為中點，

∵，∴,

又，

∴平面.

（2）連接，∵四邊形為菱形，且，

∴為等邊三角形，

∵為中點，∴，又，

∴平面.∵兩兩垂直，∴建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，∵四邊形為菱形， ，∴.

∵為等邊三角形，∴.

∴，

∴，

設平面的法向量為，則

令，得

設平面的法向量為，則，

令，得

所以

又因為二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為

（3）設

所以

化簡得

解得：

所以.