Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，線段B₁A₁，B₁C₁上（不包括端點）各有一點P，Q，且B₁P=B₁Q，下列說法中，不正確的是（　　）

• A、A，C，P，Q四點共面
• B、直線PQ與平面BCC₁B₁所成的角為定值
• C、

  π

  3

  ＜∠PAC＜

  π

  2

• D、設二面角P-AC-B的大小為θ，則tanθ的最小值為

  2

Answer 1

分析：利用平面的基本性質判斷A的正誤；直線與平面所成角判斷B是正誤；通過特例判斷C的正誤；通過二面角的大小求解判斷D的正誤．

解答：解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，線段B₁A₁，B₁C₁上（不包括端點）各有一點P，Q，且B₁P=B₁Q，如圖：
當PQ連線與AC平行時，A，C，P，Q四點共面，
∴A不正確；
直線PQ與平面BCC₁B₁所成的角為定值，顯然不正確，P在平面BCC₁B₁的射影是B₁，Q如果是定點，直線PQ與平面BCC₁B₁所成的角為變值，∴B不正確；
對于C，當P在A₁B₁ 的中點時，不妨設作法的棱長為2，cos∠PAC=

5+5-(2 3 )2

2• 5 5

＜0，∠PAC是鈍角，∴

π

3

＜∠PAC＜

π

2

不正確；
對于D，作PE⊥AB于E，過E作EF⊥AC于F，θ=∠PFE，則tanθ的最小值時EF最大，此時P在B₁，tanθ=

2

，
∴D正確．
故選：D．

點評：本題考查正方體中的直線與平面的位置關系，二面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．