Question

第十一屆西博會于2010年10月22日至26日在蓉舉行，本屆西博會以“綠色改變生活，技術引領發展”為主題．如此重要的國際盛會，自然少不了志愿者這支重要力量，“志愿者，西博會最亮麗的風景線”，通過他們的努力和付出，已把志愿者服務精神的種子播撒到人們心中．某大學對參加了本次西博會的該校志愿者實施“社會教育實踐”學分考核，因該批志愿者表現良好，該大學決定考核只有合格和優秀兩個等次，若某志愿者考核為合格，授予0.5個學分；考核為優秀，授予1個學分．假設該校志愿者甲、乙、丙考核為優秀的概率分別為

4

5

、

2

3

、

2

3

，他們考核所得的等次相互獨立．
（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優秀的概率；
（2）記這這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由已知中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優秀，是“志愿者甲、乙、兩三人中沒有考核為優秀”，這個事件的對立事件，利用對立事件概率減法公式，即可求出答案．
（II）根據甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量ξ，則ξ的可能取值為

3

2

、2、

5

2

、3，分別計算出對應的概率，即可得到隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式，即可得到數學期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）記甲、乙、丙考核為優秀依次為事件A、B、C，
“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優秀”為事件E，
事件A、B、C相互獨立，
事件

.

A

•

.

B

•

.

C

與E是對立事件；
P（E）=1-P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=1-

1

5

×

1

3

×

1

3

=

44

45

；
（Ⅱ）根據題意，ξ的可能取值為

3

2

、2、

5

2

、3，
P（ξ=

3

2

）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=

1

45

，
P（ξ=2）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

8

45

，
P（ξ=

5

2

）=P（A•B•

.

C

）+P（

.

A

•B•C）+P（A•

.

B

•C）=

20

45

，
P（ξ=3）=P（A•B•C）=

16

45

∴ξ的分布列為

∴Eξ=

3

2

×

1

45

+2×

8

45

+

5

2

×

20

45

+3×

16

45

=

77

30

點評：本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望，在計算隨機變量ξ的分布列時，一定要注意分類時要不重分，不漏分．