Question

已知數列{a_n}，其前n項和為S_n，若a₂=4，2S_n=a_n（n+1），求a₁，a₃及數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：本題可由條件2S_n=a_n（n+1），將n=1，n=2代入求值，可得a₁，a₃的值，再將“n”用“n-1”代入，利用前n項和與前n-1項和的關系，得到數列{a_n}的項與項的關系，構造常數數列，求出數列的通項．

解答： 解：∵數列{a_n}，其前n項和為S_n，2S_n=a_n（n+1），①
∴當n=1時，
2S₂=a₂×（2+1），
即2a₁+2a₂=3a₂，
∴a₂=2a₁，
∵a₂=4，
∴a₁=2．
當n=2時，
2S₃=4a₃，
即2a₁+2a₂+2a₃=4a₃，
∴a₃=a₁+a₂，
∴a₃=2+4=6．
當n≥2，n∈N^*時，
2S_n-1=na_n-1，②
∴①-②得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴（n-1）a_n=na_n-1，

an

n

=

an-1

n-1

，
∴數列{

an

n

}是常數數列，
∴

an

n

=

a1

1

=2，
∴a_n=2n，n∈N^*．
∴a₁=2，a₃=6，數列{a_n}的通項公式a_n=2n，n∈N^*．

點評：本題考查了數列前n項和與通項的關系以及構造法求數列通項，本題有一定的思維難度，難在構造，本題也可以用疊乘法求通項．