Question

有以下四個命題：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
②若數列{a_n}為等比數列，且a₄=4，a₈=9，則a₆=±6；
③不等式

|x-1|

x+5

≤0的解集為{x|x＜-5}；
④若P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上一點，F₁，F₂分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF₁|=7，則|PF₂|=13．
其中真命題的序號為

 

．（把正確的序號都填上）

Answer 1

分析：對四個命題的真假性逐一判斷
①可通過三角形中正弦函數的單調性進行判斷；
②可通過等比數列的性質進行判斷；
③解出不等式的解集即可；
④通過雙曲線的定義進行判斷；

解答：解：①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件是正確的，則一定有B＜A＜π-B，故可得反之也成立；
②若數列{a_n}為等比數列，且a₄=4，a₈=9，則a₆=±6，是正確命題，由等比數列的性質得a₄=4，a₈=9的等比中項為6或-6；
③不等式

|x-1|

x+5

≤0的解集為{x|x＜-5}錯誤命題，因為x=1時也成立；
④若P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上一點，F₁，F₂分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF₁|=7，則|PF₂|=13．是真命題，因為|PF₂|-|PF₁|=6即等于長軸的一半．這樣的點P存在．
故答案為①②④

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，求解本題的關鍵是熟練掌握了與判斷命題有關的相關的定義定理或者條件．本題③容易判斷錯誤，由于求解不等式時轉化不等價造成忘記x=1也能使不等式成立，導致錯誤．