Question

如圖，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)都為，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且．

（1）求證：MN⊥AD；
（2）求MN與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，（2）

解析試題分析：（1）首先表示正四棱錐各點(diǎn)坐標(biāo)，再準(zhǔn)確把垂直關(guān)系的判定轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量數(shù)量積為零，利用坐標(biāo)形式進(jìn)行計(jì)算，（2）直線與平面所成的角的計(jì)算，關(guān)鍵仍是平面的法向量的計(jì)算.利用向量垂直列出方程組，可解出法向量；再利用數(shù)量積，根據(jù)法向量與直線方向向量的余弦值的絕對(duì)值求直線與平面所成角的正弦值. 由于直線與平面所成角與法向量與直線方向向量的夾角不是相等或互補(bǔ)關(guān)系，而是互余或相差因此直線與平面所成角的正弦值等于法向量與直線方向向量的余弦值的絕對(duì)值，這是本題易錯(cuò)點(diǎn).
試題解析：（1）因?yàn)檎�四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)都為.
     2分
則

則     4分

     5分
（2）設(shè)平面的法向量為

由得
取得
     7分
則     9分
設(shè)與平面所成角為
則
所以與平面所成角的正弦值為     10分
考點(diǎn)：向量數(shù)量積，向量垂直，直線與平面所成角.