Question

【題目】已知函數.

（1）若時，直線是曲線的一條切線，求b的值；

（2）若，且在上恒成立，求a的取值范圍；

（3）令，且在區間上有零點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）且 （3）

【解析】

(1) 設切點，求出在點A處的切線，因為是的一條切線，對應值相等即可得解；(2)令，求導數，分和討論導數的符號從而判斷函數的單調性，證明不等式對恒成立；(3) 求出的表達式，并設在上的一個零點為，由解得，則，令利用的導數求出的最小值即可得解.

解：（1）當時，，

設切點，則在點A處的切線為，

化簡得，

因為是的一條切線，

，，解得；

（2）當時，令，

則.

若，則當時，恒成立，在上單調遞增，

，即符合題意；

若時，由，得，

當時，，在上單調遞減，

，與已知在上恒成立矛盾，舍去.

綜上，且 .

（3）法一：.

若，則在區間上恒成立，在區間上單調遞增，

因為在區間上有零點，

所以，

解得.

所以，

當時，等號成立，此時.

若時，當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增.

因為在區間上有零點

所以，

所以，

所以，

令，

則，所以在（2）上單調遞減.

所以.

若，則在區間上恒成立，在區間上單調遞減.

因為叫在區間上有零點，

所以，

解得.

所以，

當時，等號成立，此時；

綜上，的最小值是.

法二：，

設在上的一個零點為，

則，

，當時等號成立，

令，則，

因為，則，

即，所以的區間上單調遞減，

所以的最小值為，

故的最小值為.