Question

已知函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，當x∈（0，1）時，f（x）=2^x，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）已知f（x）≤2a恒成立，求常數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的性質可得，f（0）=0，根據x∈（0，1）時，f（x）=2^x，只要求出-1＜x＜0時的函數解析式即可
（2）由函數的解析式求出f（x）的值域，由f（x）≤2a恒成立，則f（x）_max≤2a即可求解

解答：解：（1）由奇函數的性質可得，f（0）=0
當-1＜x＜0時，0＜-x＜1
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x
∴f（x）=

-2-x，-1＜x＜0 0，x=1 2x，0＜x＜1

（2）當0＜x＜1時，1＜f（x）＜2
當-1＜x＜0時，-2＜f（x）＜-1
當x=0時，f（x）=0
∴f（x）＜2
∵f（x）≤2a恒成立
∴2a≥2
∴a≥1

點評：本題主要考查了利用奇函數的性質的對稱性求解函數的解析式，解題的關鍵是把所給的變量轉化到已知區間上，函數的恒成立常轉化為函數的最值求解．