Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求證{a_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）等差數列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用{a_n}的通項公式，表示出第n項與第n+1項，推出二者的關系，即可判斷是否是等比數列，然后求{a_n}的通項公式；
（2）設等差數列{b_n}的公差為d，各項為正，通過T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，求出數列的公差，即可求T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），-----（1分）
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．--------（3分）
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁．-----------（4分）
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，∴a_n=3^n-1．---（6分）
（2）設{b_n}的公差為d，
由T₃=15得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，--------（8分）
故可設b₁=5-d，b₃=5+d，
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由題意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，--------（10分）
解得d₁=2，d₂=-10．-----------（12分）
∵等差數列{b_n}的各項為正，∴d＞0．∴d=2，-------（13分）
Tn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n．-----------（15分）

點評：本題是中檔題，考查數列的判斷，數列的定義的應用，數列的遞推關系式的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，計算能力．