Question

（2012•自貢一模）已知函數(shù)f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx．
（I）求f（x）的解析式；
（II）是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是3．如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx．我們可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，得到x∈[-e，0）時，函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（II）由（I）中函數(shù)的解析式，我們可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分類討論后可得：當(dāng)a＜-

1

e

$}-\frac{1}{e}$時，-e≤x≤

1

a

?f′（x）=a-

1

x

＜0，此時函數(shù)f（x）有最小值，再由f（x）的最小值是3，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求了答案．

解答：（1）設(shè)x∈[-e，0），則-x∈（0，e]，∴f（-x）=-ax+ln（-x），
又f（x）為奇函數(shù)，f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x）
∴函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=

ax-ln(-x) ax+lnx

x∈[-e，0)； x∈(0，e]．

（4分）
（2）假設(shè)存在實數(shù)a符合題意，先求導(dǎo)f′(x)=a-

1

x

，
①當(dāng)a≥-

1

e

時，由于x∈[-e，0）．則f′(x)=a-

1

x

≥0．
∴函數(shù)f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，則a=-

4

e

＜-

1

e

（舍去）．（8分）
②當(dāng)a＜-

1

e

時，-e≤x≤

1

a

?f′（x）=a-

1

x

＜0；

1

a

＜x＜0?f′（x）=a-

1

x

＞0；
則f（x）=ax-ln（-x）在[-e，

1

a

]上遞減，在[

1

a

，0)上遞增，
∴f(x)min=f(

1

a

)=1-ln(-

1

a

)=3，解得a=-e²，
綜合（1）（2）可知存在實數(shù)a=-e²，使得當(dāng)x∈[-e，0）時，f（x）有最小值3．（12分）

點評：本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，函數(shù)解析式的求解及常用方法，其中結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．