Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達式；

（Ⅱ）若在上是減函數，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）證明不等式：.

Answer 1

【答案】（1）; （2）；（3）見解析.

【解析】【試題分析】（１）依據題設導數計算公式及導數的幾何意義建立方程求解；（２）依據題設條件構造函數運用導數建立不等式，分離參數借助基本不等式求得參數的取值范圍；（３）借助（２）的結論建立遞推式，然后運用疊加的方法進行分析推證：

（Ⅰ）由于與在處相切，

且，得：

又∵，∴，

∴.

（Ⅱ）在上是減函數，

∴在上恒成立.

即在上恒成立，由，，

又∵，∴得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：當時：在上是減函數，

∴當時，即，

所以從而得到：.

當時：，

當時：，

當時：，

當時：，，.

上述不等式相加得：

…+

即…+.（，）