Question

（2011•聊城一模）已知點F₁，F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點，P是橢圓C上的一點，且|F1F2|=2，∠F1PF2=

π

3

，△F1PF2的面積為

3

3

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點M的坐標為(

5

4

，0)，過點F₂且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，對于任意的k∈R，

MA

•

MB

是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設|PF₁|=m，|PF₂|=n，在△PF₁F₂中，由余弦定理以及三角形的面積，結合橢圓定義，求出a，c，b可得橢圓的方程．
（Ⅱ）利用直線與橢圓方程，通過韋達定理，結合向量的數量積化簡得到定值即可．

解答：解：（Ⅰ）設|PF₁|=m，|PF₂|=n，在三角形PF₁F₂中，由余弦定理得4=m²+n²-2mncos

π

3

，由三角形的面積為

3

3

所以

1

2

mnsin

π

3

=

3

3

，所以mn=

4

3

，所以m+n=2

2

，所以a=

2

；又c=1，所以b=1，橢圓C的方程為

x2

2

+ y2 =1；
（Ⅱ）由F₂（1，0），直線l的方程為y=k（x-1）．由

y=k(x-1) x2 2 +y2 =1

消去y，（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2(k2-1)

2k2+1

∴

MA

•

MB

=（x₁-

5

4

，y₁）（x₂-

5

4

，y₂）=（x₁-

5

4

）（x₂-

5

4

）+y₁y₂
=（x₁-

5

4

）（x₂-

5

4

）+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（k²+1）

2k2-2

2k2+1

-

4k2(k2+ 5 4 )

2k2+1

+

25

16

+k²
=

-4 k2-2

2k2+1

+

25

16

=-

7

16

由此可知

MA

•

MB

=-

7

16

為定值．

點評：本題是中檔題，考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系，注意余弦定理、面積公式橢圓的定義以及向量數量積的綜合應用，考查計算能力，轉化思想．