Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=

2an

1+an

（n=1，2，…）
（1）求證：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=

1

2

，寫出a₂、a₃、a₄、a₅的值，觀察并歸納出這個數列的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）采用反證法證明，先假設兩種相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值為常數0或1，進而得到此數列為是0或1的常數列，與已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假設錯誤，兩種不相等；
（2）把n=1及a₁=

1

2

代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值，把n=4及a₄的值代入已知的等式即可求出a₅的值，然后把求出的五項的值變形后，即可歸納總結得到這個數列的通項公式a_n．

解答：解：（1）證明：若a_n+1=a_n，
即

2an

1+an

=a_n，解得a_n=0或1．
從而a_n=a_n-1=…a₂=a₁=0或1，與題設a₁＞0，a₁≠1相矛盾，
故a_n+1≠a_n成立．
（2）由a₁=

1

2

，得到a₂=

2× 1 2

1+ 1 2

=

2

3

=

22-1

22-1+1

，
a₃=

2× 2 3

1+ 2 3

=

4

5

=

23-1

23-1+1

，
a₄=

2× 4 5

1+ 4 5

=

8

9

=

24-1

24-1+1

，
a₅=

2× 8 9

1+ 8 9

=

16

17

=

25-1

25-1+1

，
…，
則a_n=

2n-1

2n-1+1

（n∈N^*）．

點評：此題考查學生會利用反證法對命題進行證明的能力，會根據一組數據的特點歸納總結得出一般性的規律，是一道中檔題．