Question

（文）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=

1

4

且S_n=S_n-1+a_n-1+

1

2

，數列{b_n}滿足b₁=-

119

4

且3b_n-b_n-1=n（n≥2且n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{b_n-a_n}為等比數列；
（3）求{b_n}前n項和的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n，直接求出{a_n}的通項公式；
（2）直接求出數列b_n-a_n表達式，利用等比數列的定義證明數列{b_n-a_n}為等比數列；
（3）利用（2）求出數列的前幾項，即可判斷數列的符號，然后求{b_n}前n項和的最小值．

解答：解：（1）由S_n=S_n-1+a_n-1+

1

2

，得S_n-S_n-1=a_n-1+

1

2

，2a_n=2a _n-1+1，a_n-a _n-1+

1

2

…2分
∴a_n=a₁+（n-1）d=

1

2

n-

1

4

（2）證明：∵3b_n-b_n-1=n，∴b_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n，
∴b_n-a_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

b_n-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

（b_n-1-

1

2

n+

3

4

）；
b_n-1-a_n-1=b_n-1-

1

2

（n-1）+

1

4

=b_n-1-

1

2

n+

3

4

；
∴由上面兩式得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

，又b₁-a₁=-

119

4

-

1

4

=-30
∴數列{b_n-a_n}是以-30為首項，

1

3

為公比的等比數列．
（3）由（2）得b_n-a_n=-30×(

1

3

)n-1，
∴bn=an-30×(

1

3

)n-1=

1

2

n-

1

4

-30×(

1

3

)n-1，
b_n-b_n-1=

1

2

n-

1

4

-30×(

1

3

)n-1-

1

2

(n-1)+

1

4

+30×(

1

3

)n-2
=

1

2

+ 30×(

1

3

)n-2(1-

1

3

)
=

1

2

+ 20×(

1

3

)n-2＞0，∴{b_n}是遞增數列
當n=1時，b₁=-

119

4

＜0；當n=2時，b₂=

3

4

-10＜0；
當n=3時，b₃=

5

4

-

10

3

＜0；當n=4時，b₄=

7

4

-

10

9

＞0，
所以，從第4項起的各項均大于0，故前3項之和最小．
且S₃=

1

4

(1+3+5)-30-10-

10

3

=-41

1

12

．

點評：本題是中檔題，考查數列的遞推關系式的應用，考查邏輯推理能力，計算能力，轉化思想的應用．