Question

若函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且對一切x＞0，y＞0，滿足，則不等式的解為

1. A.
   （-8，2）
2. B.
   （2，8）
3. C.
   （0，2）
4. D.
   （0，8）

Answer 1

C
分析：采用賦值法求出f（1）的值；且根據f（）=f（x）-f（y），得到f（x）+f（y）=f（x•y），將所求不等式變形，再根據函數的單調性將原不等式轉化為一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．
解答：∵對一切x＞0，y＞0滿足f（）=f（x）-f（y），
∴對一切x＞0，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y），且f（1）=0，
∴f（x+6）-f（）＜2f（4）變形為：f（x+6）+f（x）＜f（16），
即f[x（x+6）]＜f（16），又函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
∴x（x+6）＜16，即（x-2）（x+8）＜0，
解得：-8＜x＜2，又x＞0，
則所求不等式的解集為（0，2）．
故選C
點評：此題考查了其他不等式的解法，利用了賦值法，賦值法是解決抽象函數常用的方法．抽象函數是以具體函數為背景的，“任意x＞0，y＞0時，f（x）+f（y）=f（x•y）”的背景函數是f（x）=log_ax（a＞0），我們可以構造背景函數來幫助分析解題思路．