Question

在（1）和（2）中可以任選一題作答
（1）在曲線C₁：（θ為參數(shù)）上求一點，使它到直線C₂：（t為參數(shù)）的距離最小，并求出該點的坐標和最小距離．
（2）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為：．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線l相交于A，B，若點P的坐標為，求|PA|+|PB|．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將曲線C₁與直線C₂化為普通方程，所求問題轉(zhuǎn)化為與直線C₂平行且且與圓C₁相切的切線問題，進而得到答案．
（2）（Ⅰ））由圓C的方程為：，得，進而可化為普通方程．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，再與圓C的方程聯(lián)立，即可求得點A、B的坐標，使用兩點間的距離公式即可得出答案．
解答：解：（1）將曲線C₁：（θ為參數(shù)）化為普通方程（x-1）²+y²=1．
將直線C₂：（t為參數(shù)）消去參數(shù)t化為普通方程x+y=．
設與直線C₂平行且與圓C₁相切的直線l的方程為x+y=t，如圖所示：
聯(lián)立消去y得到（x-1）²+（x-t）²=1，即2x²-2（1+t）x+t²=0，
∵△=0，∴4（t+1）²-8t²=0，解得，
當取t=時，切點M到直線C₂：x+y=的距離最小，此時，由方程解得，得y=，
∴切點M．
其最小距離為=1．

∴要求的點的坐標和最小距離分別是切點M，1．
（2）（Ⅰ）由圓C的方程為：，∴，∴，即．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程x+y=3+．
聯(lián)立解得或，不妨設A（1，），B（2，1），
∴|PA|+|PB|=+=．
點評：本題考查了把極坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程，然后解決直線與圓的相切與相交問題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的問題及較強的計算能力是解決問題的關鍵．