Question

給出以下四個命題：
①設a是實數，i是虛數單位，若

a

1+i

+

1+i

2

是實數，則a=1；
②不等|x-1|+|x-2|≤2的解集為[

1

2

，

5

2

]；
③

∫

e 1

(ex-

2

x

)dx=ee-e-2；
④已知命題p：在△ABC中，如果cos²A=cos²B，則A=B；命題q：y=

1

x

在定義城內是減函數，則“p∧q”為真，“p∧q”為假，“￢p”為真．
其中正確命題的序號是

 

．（請把正確的序號全部填上）

Answer 1

分析：①

a

1+i

+

1+i

2

=

a(1-i)

2

+

1+i

2

，整理即可判斷；
②可利用絕對值的幾何意義，在數軸上作圖即可判斷，也可以用1，2把數軸分為三個區間，分區間討論（也包括端點），去絕對值符號解決；
③利用積分公式計算即可作出判斷；
④在△ABC中，由cos²A=cos²B，可得A=B，命題p 正確，q：y=

1

x

在定義城內是減函數，錯誤，由符合命題間的關系可判斷④．

解答：解：∵

a

1+i

+

1+i

2

=

a(1-i)

2

+

1+i

2

=

a+1+(1-a)i

2

∈R，
∴a=1，故①正確；
由|x-1|+|x-2|≤2得，在數軸上0.5對應的點A到1對應的點M的距離為0.5，點A到2對應的點N的距離為1.5，同理2.5對應的點為B，則|BM|=|AN|=1.5
|BN|=|AM|=0.5，在AB之間的任一點對應的數x均滿足題意，故

1

2

≤x≤ 

5

2

，②正確；

∫

e 1

(  ex-

2

x

)dx=ee-e-(2lne-2ln1)=e^e-e-2，③正確；
在△ABC中，由cos²A=cos²B，可得A=B，命題p 正確，q：y=

1

x

在定義城內是減函數，錯誤，由符合命題間的關系可判斷④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查真假命題的判斷與應用，解決的難點在于每個選項的內容相對獨立，綜合性較強，屬于中檔題．