Question

已知有下列四個命題：
①若a、b∈R且a+b=2，則

1

a

+

1

b

的最小值為2；
②函數f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數；
③若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1．則4為f（x）的一個周期；
④函數y=2cos²x+sin2x的最小值為

2

+1．正確命題是

 

．

Answer 1

分析：①舉反例，即可說明該命題不正確；
②求導，判斷導函數的符號，從而確定命題的正確與否；
③以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），從而得到結論；
④先利用三角函數的二倍角公式化簡函數，再利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡三角函數，利用三角函數的有界性求出最小值．

解答：解：①若a、b∈R且a+b=2，則

1

a

+

1

b

的最小值為2，錯，如a=4，b=-2，滿足a+b=2，但是

1

a

+

1

b

=-

1

4

；
②f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函數f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數；故該命題正確；
③∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4為f（x）的一個周期；該命題正確；
④y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)
=1+

2

sin(2x+

π

4

)
當 2x+

π

4

=2k π-

π

2

，有最小值1-

2

故該命題錯；
故答案為：②③

點評：此題是個基礎題．考查基本不等式求最值，注意正、定、等三方面兼顧，以及函數的周期性的定義，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．