Question

已知A、B、C是△ABC的三個內角，y=cotA+

2sinA

cosA+cos ( B-C )

．
（1）若△ABC是正三角形，求y的值；
（2）若任意交換△ABC中兩個角的位置，y的值是否變化？證明你的結論；
（3）若△ABC中有一內角為45°，求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）把A=B=C=

π

3

直接代入要求的式子化簡運算求得結果．
 （2）利用弦切互化以及積化和差與和差化積公式，化簡函數y=

3-( cos2A+cos2B+cos2C)

sin2A+sin2B+sin2C

，顯然，任意交換△ABC中兩個角的位置，則y的值不會發(fā)生變化．
（3）若△ABC中有一內角為45°，不妨設A=45°，則B+C=135°，化簡y 的解析式為 1+

2

1+ 2 cos(B-C)

，
故當cos（B+C）=1（最大值）時，y有最小值為1+

2

1+ 2

=2

2

-1．

解答：解：（1）若△ABC是正三角形，則A=B=C=

π

3

，
y=cotA+

2sinA

cosA+cos ( B-C )

=

3

3

+

3

1 2 +1

=

3

．
（2）∵y=cotA+

2sinA

cosA+cos ( B-C )

=

cos2A+cosAcos(B-C)+2sin2A

sinAcosA+sinAcos(B-C)

 
=

1+sin2A-cos(B+C)cos(B-C)

1 2 sin2A+sin(B+C)cos(B-C)

=

1+  1-cos2A 2 - 1 2 (cos2B+cos2C)

1 2 [sin2A+sin2B+sin2C]

 
=

3-( cos2A+cos2B+cos2C)

sin2A+sin2B+sin2C

．
∴若任意交換△ABC中兩個角的位置，則y的值不會發(fā)生變化．
（3）若△ABC中有一內角為45°，不妨設A=45°，則B+C=135°．
y=

3-( cos2A+cos2B+cos2C)

sin2A+sin2B+sin2C

=

3-(cos2B+cos2C)

1+sin2B+sin2C

=

3-2cos(B+C)cos(B-C)

1+2sin(B+C)cos(B-C)

=

3+ 2 cos(B-C)

1+ 2 cos(B-C)

=1+

2

1+ 2 cos(B-C)

．
故當cos（B+C）=1（最大值）時，y有最小值為1+

2

1+ 2

=2

2

-1．

點評：本題考查弦切互化，積化和差與和差化積公式，利用單調性求函數的最值，式子的變形是解題的難點．