Question

設f(x)的定義域（0，+∞），對于任意正實數m，n恒有f(mn)=f(m)+f(n)，且當x＞1時，f(x)＞0，f()=-1。
（1）求f(2)的值；
（2）求證：f(x)在（0，+∞）上是增函數；
（3）解關于x的不等式，其中p＞-1。

Answer 1

解：（1）令m=n=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
，
∴f（2）=1；
（2）設，則，由已知，得，
，
∴，
而，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數。
（3）由f（2）=1，得2=f（2）+f（2）=4，
又，
∴不等式化為，
由（2）知f（x）在（0，+∞）上單增，
∴原不等式即為，
①當p＞0時，得x＞4，；
②當p=0時，不等式不成立，解集為；
③當時，即-1＜p＜0時，原不等式化為，
解得：。