Question

有一個數據運算裝置，如下圖所示，輸入數據x通過這個運算裝置就輸出一個數據y，輸入一組數據，則會輸出另一組數據．要使輸入的數據介于20～100之間（含20和100，且一個都不能少），輸出的另一組數據后滿足下列要求：①新數據在60～100之間（含60和100，也一個都不能少）；②新數據的大小關系與原數據的大小關系相反，即原數據較大的對應新數據較小．
（1）若該裝置的運算規則是一次函數，求出這種關系；
（2）若該裝置的運算規則是y=a（x-h）²（a＞0），求滿足上述條件的a，h應滿足的關系式；
（3）請你設計一種滿足上述條件新的運算規則（非一次、二次函數）．

Answer 1

分析：（1）假設該運算裝置的運算規則是一次函數，設一次函數的解析式是y=kx+b （k≠0），根據題意，則

100=20k+b 60=100k+b

得到函數的解析式．
（2）要使規則y=a（x-h）²²滿足以上條件，則必須有函數y=a（x-h）²²的定義域為[20，100]，值域為[60，100]且該函數在[20，100]上單調遞減，寫出a，h應滿足條件，得到兩者的關系式．
（3）假設新的運算法則是指數型的符合函數，根據條件中所給的函數的性質，利用待定系數法來解題，得到函數的系數，寫出函數的解析式．

解答：解：（1）若該運算裝置的運算規則是一次函數，
設y=kx+b （k≠0）
根據題意，則

100=20k+b 60=100k+b

   解得

k=- 1 2 b=110

∴y=-

1

2

x+110-------------------（4分）
（2）要使規則y=a（x-h）²²滿足以上條件，
則必須有函數y=a（x-h）²²的定義域為[20，100]，
值域為[60，100]
且該函數在[20，100]上單調遞減：故a，h應滿足條件100=a（20-h）²
60=a（100-h）²
h≥100
a＞0-------------------（8分）
∴a=-

1

4(60-h)

(h≥100)--------（10分）
（3）若設新的運算規則是y=a(

1

2

)x+b (a＞0)--------（12分）
則

100=a( 1 2 )20+b 60=a( 1 2 )100+b

 解得

a= 40 ( 1 2 )20-( 1 2 )100 b= 60( 1 2 )2-100( 1 2 )100 ( 1 2 )20-( 1 2 )100

-----（14分）
故新的運算規則是y=

40

( 1 2 )20-( 1 2 )100

 (

1

2

)2+

60( 1 2 )20-100( 1 2 )100

( 1 2 )20-( 1 2 )100

-----（16分）

點評：本題考查指數型函數的解析式的求法，二次函數的解析式的求法和一次函數的解析式的求法，本題解題的關鍵是根據所給的順序結構，看出題目的意義，即看出題目的實質，本題是一個中檔題目．