Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的單調區間；

（2）若函數存在唯一的零點，且，則的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數在上單調遞增，在上單調遞減.(2) .

【解析】

（1）先求得函數的導數，然后利用導數的正負求出函數的單調區間.（2）先令，得，構造函數，對分成三類，利用導數研究函數的單調區間，根據函數存在唯一的零點，且，列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1），

令，解得.

當時，；當時，.

故函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）令，可得，令，且，

本題等價于函數存在唯一的零點，且 .

當時，，解得，函數有兩個零點，不符合題意，

當時，，令，解得或，

當時，函數 在上單調遞增，在上單調遞減，

又，又，，所以函數存在負數零點，不符合題意

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

又，故，解得 ，

綜上，的取值范圍為.