Question

甲、乙兩名射手各進行一次射擊，射中環數ξ₁，ξ₂的分布列分別為：

ξ1	8	9	10
P	0.3	0.5	a

ξ2	8	9	10
P	0.2	0.3	b

（I）確定a、b的值，并求兩人各進行一次射擊，都射中10環的概率；
（II）兩各射手各射擊一次為一輪射擊，如果在某一輪射擊中兩人都射中10環，則射擊結束，否則繼續射擊，但最多不超過4輪，求結束時射擊輪次數η的分布列及期望，并求結束時射擊輪次超過2次的概率．

Answer 1

解：（I）有分布列得：0.5+0.3+a=1，解出a=0.2，
又由于0.2+0.3+b=1，解出b=0.5，
設“兩人在一次射擊中都射中10環”為事件A，
P（A）=P（ξ₁=10）•P（ξ₂=10）=0.2×0.5=0.1；
（II）由于η表示兩各射手各射擊一次為一輪射擊，如果在某一輪射擊中兩人都射中10環，則射擊結束，否則繼續射擊，但最多不超過4輪，結束時射擊輪次數，則由題意可知：η的可能值為：1，2，3，4，
P（η=1）=0.1；
P（η=2）=0.1×0.9=0.09；
P（η=3）=0.1×=0.081；
P（η=4）=0.1×0.9³+0.9⁴=0.729；
所以η的分布列為：

所以隨機變量η的期望Eη=1×0.1+2×0.09+3×0.081+4×0.729=3.439，
設“結束射擊時超過2輪次”為事件B，
則P（B）=0.081+0.729=0.81，
答：結束時射擊輪次超過2次的概率為0.81．
分析：（I）由題意及分布列的性質可知0.5+0.3+a=1 解出a=0.2，又由于0.2+0.3+b=1 解出b=0.5，利用獨立事件同時發生的概率公式即可；
（2）由于η表示兩各射手各射擊一次為一輪射擊，如果在某一輪射擊中兩人都射中10環，則射擊結束，否則繼續射擊，但最多不超過4輪，結束時射擊輪次數，則由題意可知：η的可能值為：1，2，3，4，利用隨機變量的定義及分布列定義可得η的分布列，并利用分布列及互斥事件的概率公式求出其期望和結束時射擊輪次超過2次的概率．
點評：此題考查了學生對于分布列的性質的理解及應用，還考查了對于隨機變量的準確理解及每一個值下的準確使用各個隨機事件的概率公式，還考查了隨機變量的期望，容易在分清事件類型上出錯，若出錯還是事件概念混淆導致，多注意理解與區分即可．