Question

若函數f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2對一切實數x恒為正值，則實數a的取值范圍是（　　）

A．1≤a≤9

B．1＜a＜9

C．a≤1或a＞9

D．1≤a＜9

Answer 1

分析：對于函數f（x）=ax²+bx+c，首先對二次項的系數分a=0和a≠0討論，然后對a≠0再分

a＞0 △＜0

與

a＜0 △＜0

解出即可．

解答：解：①當-（a²-11a+10）=0時，解得a=1或a=10．
當a=10時，f（x）=-9x+2不滿足對一切實數x恒為正值，故舍去．
當a=1時，f（x）=2滿足對一切實數x恒為正值，因此a=1適合題意．
②當-（a²-11a+10）＞0時，解得1＜a＜10．
要使函數f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2對一切實數x恒為正值，
則必有△=（a-1）²+8（a²-11a+10）＜0，又1＜a＜10，
解得1＜a＜9，滿足題意．
③當-（a²-11a+10）＜0時，解得a＜1或a＞10．
要使函數f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2對一切實數x恒為正值，
則必有△=（a-1）²+8（a²-11a+10）＜0，又a＜1或a＞10，
解得a∈∅．
綜上可知：實數a的取值范圍是1≤a＜9．
故選D．

點評：熟練掌握三個“二次”與判別式△的關系是解題的關鍵．