Question

（本小題滿分12分）已知，設函數，．
（Ⅰ）求函數的最大值；
（Ⅱ）若是自然對數的底數，當時，是否存在常數、，使得不等式對于任意的正實數都成立？若存在，求出、的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（I）∵ ，               ………………（2分）
∴．

	+	0	-
		極大值

∴當時，函數取最大值；      ………………（4分）
（II）當時，的最大值是0，
即，當且僅當時取等號，        ………………（6分）
函數和的圖象在處有且僅有一個公共點，
∵，函數的圖象在處切線斜率是，
∵，函數的圖象在處切線斜率是，
∴和的圖象在處有公共切線方程為，………………（8分）
設，

	+	0	-
		極大值

∴當時，函數取得最大值，∴恒成立；……………（10分）
∵，
∴在時恒成立；
∴當時，，．                 ………………（12分）

略