Question

已知定義在R上的函數y=f（x）是奇函數，且x＞0時，f（x）=ln（x²+2x+2）；
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）-m=0無解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用奇函數的性質即可得出；
（2）利用對數函數的單調性可得函數f（x）的值域，進而得出m的取值范圍．

解答： 解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=ln（x²+2x+2）；
∴f（-x）=ln（x²-2x+2），
又定義在R上的函數y=f（x）是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-ln（x²-2x+2），f（0）=0．
∴f（x）=

ln(x2+2x+2)，x＞0 0，x=0 -ln(x2-2x+2)，x＜0

．
（2）由（1）可得：x＞0時，f（x）=ln[（x+1）²+1]＞ln2．
x=0時，f（0）=0．
x＜0時，f（x）=-ln[（x-1）²+1]＜-ln2．
∴函數f（x）的值域為（-∞，-ln2）∪{0}∪（ln2，+∞）．
∵方程f（x）-m=0無解，
∴實數m的取值范圍是[-ln2，0）∪（0，ln2]．

點評：本題考查了函數的奇偶性、對數函數的單調性、二次函數的單調性，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．