Question

【題目】如圖1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=3，CD=6，過A，B分別作CD的垂線，垂足分別為E，F，已知DE=1，AE=3，將梯形ABCD沿AE，BF同側折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到圖2.

（1）證明：BE//平面ACD；

（2）求三棱錐C﹣AED的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設AF∩BE=O，取AC中點M，連接OM，證明四邊形DEOM為平行四邊形，從而得到DM//OE，再利用線面平行判定定理證得結論；

（2）由點C到平面ADE的距離等于點F到平面ADE的距離，即可得到

將數據代入即可得答案.

（1）證明：設AF∩BE=O，取AC中點M，連接OM.

∵四邊形ABFE為正方形，∴O為AF中點，

∵M為AC中點，∴，.

∵平面ADE平面ABFE，平面ADE平面ABFEAE，DEAE，DE平面ADE，

∴DE平面ABFE；

又∵平面ADE//平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABFE，同理，CF⊥平面ABFE.

又∵DE=1，FC=2，∴且，

∴，且OMDE，∴四邊形DEOM為平行四邊形，∴DM//OE.

∵DM平面ADC，BE平面ADC，∴BE//平面ADC.

（2）∵CFDE，DE平面ADE，CF平面ADE，

∴CF平面ADE，

∴點C到平面ADE的距離等于點F到平面ADE的距離.

∴.