Question

設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）-g（x）＜

1

a

對任意x＞0成立．

Answer 1

分析：（I）求導，并判斷導數的符號確定函數的單調區間和極值、最值，即可求得結果；
（Ⅱ）通過函數的導數，利用函數的單調性，半徑兩個函數的大小關系即可．
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結論，轉化不等式，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由題設知f（x）=lnx，g（x）=lnx+

1

x

，
∴g'（x）=

x-1

x2

，令g′（x）=0得x=1，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調減區間．
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調遞增區間，
因此，x=1是g（x）的唯一值點，且為極小值點，
從而是最小值點，所以最小值為g（1）=1．
（II）g(

1

x

)=-Inx+x
設h(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx-x+

1

x

，則h'（x）=-

(x-1)2

x2

，
當x=1時，h（1）=0，即g(x)=g(

1

x

)，
當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h′（1）=0，
因此，h（x）在（0，+∞）內單調遞減，
當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，即g(x)＞g(

1

x

)，
當x＞1時，h（x）＜h（1）=0，即g(x)＜g(

1

x

)．
（III）由（I）知g（x）的最小值為1，
所以，g（a）-g（x）＜

1

a

，對任意x＞0，成立?g（a）-1＜

1

a

，
即Ina＜1，從而得0＜a＜e．

點評：此題是個難題．主要考查導數等基礎知識，考查推理論證能力和、運算求解能力，考查函數與方程思想，數形結合思想，化歸和轉化思想，分類與整合思想．其考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．