Question

已知a,b,c為互不相等的非負數，求證：a²+b²+c²＞(++).

Answer 1

見解析

試題分析：因為a,b,c為互不相等的非負數，由重要不等式得，a²+b²＞2ab，b²+c²＞2bc，a²+c²＞2ac，利用同向不等式的加法原則得，a²+b²+c²＞ab+bc+ac，由基本不等式得ab+bc＞2 ，bc+ac＞2，ab+ac＞2，再利用加法原則得，ab+bc+ac＞(++)，再利用不等式的傳遞性即得所要證明的結論.
試題解析：證明 ∵a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,a²+c²≥2ac.
又∵a,b,c為互不相等的非負數，
∴上面三個式子中都不能取“=”，
∴a²+b²+c²＞ab+bc+ac,
∵ab+bc≥2,bc+ac≥2,
ab+ac≥2,
又a,b,c為互不相等的非負數，
∴ab+bc+ac＞(++),
∴a²+b²+c²＞(++)       （14分）