Question

【題目】已知橢圓C； =1（a＞b＞c）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0）、F2（c，0），過原點O的直線（與x軸不重合）與橢圓C相交于D、Q兩點，且|DF1|+|QF1|=4，P為橢圓C上的動點，△PF1F2的面積的最大值為 ．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若A、B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩點，設點N（﹣4，0），連接NA與橢圓C相交于點E，直線BE與x軸相交于點M，試求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，2a=4，得a=2．

又bc= ，且b2+c2=4，可得 ，c=1．

∴橢圓的離心率e=

（2）解：由（1）知，橢圓C的標準方程為 ．

由題意可知直線NA存在斜率，

設直線NA的方程為y=k（x+4），代入橢圓方程消去y并整理得：

（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12=0．

由△=（32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0，解得﹣ ＜k＜ ．

設A（x1，y1），E（x2，y2），則B（x1，﹣y1），

得 ，①

直線BE的方程為y+y1= ，令y=0，

得 = ，②

由①②得 ．

即點M為左焦點F1（﹣1，0），

因此NF2=5，MF2=2．

∴ =

【解析】（1）由題意求得a，結合△PF1F2的面積的最大值為 可得bc= ，再由隱含條件求得b，c的值，則橢圓離心率可求；（2）由（1）求出橢圓方程，設出直線NA方程，與橢圓方程聯立化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求得k的范圍，利用根與系數的關系得到A與E的橫坐標的和與積，進一步寫出BE所在直線方程，取y=0求得M坐標，可知M與橢圓左焦點重合，求出NF2及MF2的值，則 的值可求．