Question

三棱錐P-ABC中，頂點P在平面ABC上的射影為O，且滿足

OA

+

OB

+

OC

=

.

0

，A點在側面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，則此三棱錐體積最大值是（　　）

A．12

B．36

C．48

D．24

Answer 1

分析：由

OA

+

OB

+

OC

=

.

0

，說明P點在平面ABC內的射影O為底面三角形的重心，再由A點在平面PBC內的射影為三角形PBC的垂心，可證得BC⊥PA，從而可證明AD⊥BC，根據D為BC的中點，說明AB=AC，同理可證AB=BC，得到底面三角形ABC為
等邊三角形，設底面邊長為x，把高PO用x表示，寫出三棱錐體積公式后運用基本不等式求最大值．

解答：解：如圖，∵O是P在平面ABC內的射影，且滿足

OA

+

OB

+

OC

=

.

0

，
∴O為三角形ABC的重心，連接AO并延長交BC于D，連接BO并延長交AC于F，則D、F分別為BC和AC的中點，
∵AH⊥平面PBC，BC?平面PBC，∴AH⊥BC，
∵H為三角形PBC的垂心，∴PH⊥BC，又∵PH∩AH=H，
∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PO⊥BC，
又∵PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO，∴BC⊥AO，BC⊥AD．
D為BC的中點，AD⊥BC，∴AB=AC．
∵CH⊥PB，AH⊥PB，AH∩CH=H，∴PB⊥面AHC，∴PB⊥AC，
又∵PO⊥AC，PO∩PB=P，∴AC⊥平面PBO，
∴AC⊥BO，AC⊥BF，
又∵F為AC的中點，∴AB=BC，∴三角形ABC為等邊三角形．
設三角形ABC的邊長為x，則AD=

3 x

2

，AO=

2

3

AD=

2

3

×

3 x

2

=

3 x

3

，又PA=6，
∴PO=

PA2-AO2

=

36- x2 3

∴VP-ABC=

1

3

×

1

2

x•

3 x

2

•

36- x2 3

=

3

12

x2•x2(36- x2 3 )

=

3

12

36• x2 6 • x2 6 (36- x2 3 )

≤

3

2

( x2 6 + x2 6 +36- x2 3 3 )3

=36．
當且僅當

x2

6

=36-

x2

3

，即x=6

2

時“=”成立．
故選B．

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，考查了運用基本不等式求函數最值，此題屬中檔題．