Question

【題目】【2017屆湖南省長沙市高三上學期統一模擬考試文數】已知過的動圓恒與軸相切，設切點為是該圓的直徑．

（Ⅰ）求點軌跡的方程；

（Ⅱ）當不在y軸上時，設直線與曲線交于另一點，該曲線在處的切線與直線交于點．求證: 恒為直角三角形．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 證明見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設點 ，點是點在 軸射影的中點，即 ，根據幾何關系可知 ，將其轉化為數量積的坐標表示即為軌跡方程；（Ⅱ）設直線的方程為 與拋物線方程聯立，交于兩點，設 ，根據導數的幾何意義求和兩點的直線斜率求 ,證明 ，即說明是直角三角形.

試題解析：(Ⅰ) 設點坐標為，則點坐標為．

因為是直徑，所以，或、均在坐標原點．

因此 ,而 ， ，

故有，即，

另一方面，設是曲線上一點，

則有，

中點縱坐標為，

故以為直徑的圓與 軸相切．

綜上可知點軌跡的方程為．

(Ⅱ)設直線的方程為，

由得：

設 ，則有．

由對求導知，

從而曲線E在P處的切線斜率，

直線的斜率，

于是 ．

因此 ．

所以恒為直角三角形．