Question

已知冪函數y=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數．
（1）求m的值；
（2）求滿足(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）冪函數y=x^α的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數．則必須滿足α為偶數且α＜0，則易得m的值．
（2）再根據冪函數y=x^α的單調性，求滿足(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

的a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數在（0，+∞）上遞減，
∴m²-2m-3＜0即-1＜m＜3，又m∈N*
∴m=1或2，又函數圖象關于y軸對稱，
∴m²-2m-3為偶函數，故m=1為所求．
（2）函數y=x-

1

3

在（-∞，0），（0，+∞）上均為減函數
∴(a+1)-

1

3

＜(3-2a)-

1

3

等價于a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1或

2

3

＜a＜

3

2

故a的取值范圍為(-∞， -1)∪(

2

3

， 

3

2

)

點評：冪函數y=x^α，α＜0時則為減函數；α＞0時，冪函數為增函數．要注意α的不同，其定義域是不同的．解不等式時要注意．