Question

若0<a<2,0<b<2,0<c<2，證明：a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1.

Answer 1

假設a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1，

∵0<a<2,0<b<2,0<c<2，

∴2－b>0,2－c>0,2－a>0，

∵a(2－b)>1，b(2－c)>1，c(2－a)>1，

三式相乘，得a(2－b)·b(2－c)·c(2－a)>1.      ①

又0<a(2－a)≤()²＝1，

0<b(2－b)≤()²＝1，

0<c(2－c)≤()²＝1，

∴a(2－a)·b(2－b)·c(2－c)≤1.                   ②

由于①②兩式矛盾，故原命題成立.