Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x-4）²+（y-5）²=4和圓C₂：（x+3）²+（y-1）²=4．
（1）若直線l₁過點A（2，0），且與圓C₁相切，求直線l₁的方程；
（2）直線l₂的方程是x=

5

2

，證明：直線l₂上存在點P，滿足過P的無窮多對互相垂直的直線l₃和l₄，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₃被圓C₁截得的弦長與直線l₄被圓C₂截得的弦長相等．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質,圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）分類討論，設方程，利用直線l₁過點A（2，0），且與圓C₁相切，建立方程求出斜率，即可求出直線l₁的方程；
（2）設P（

5

2

，n），l₃：y-n=k（x-

5

2

）；l₄：y-n=-

1

k

（x-

5

2

），即kx-y+n-

5

2

k=0，

1

k

x+y-n+

5

2k

=0，利用直線l₃被圓C₁截得的弦長與直線l₄被圓C₂截得的弦長相等，可得

|4k-5+n- 5 2 k|

k2+1

=

|- 3 k +1-n+ 5 2k |

1 k2+1

，化簡，得（-

1

2

-n）k=-

1

2

-n或（

21

2

-n）k=-

5

2

+n，利用關于k的方程有無窮多解，即可證明結論．

解答： 解：（1）若直線的斜率不存在，x=2符合題意；
直線l的斜率存在時，設直線的方程為y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
∵直線l₁過點A（2，0），且與圓C₁相切，
∴

|4k-5-2k|

k2+1

=2，
∴k=

21

20

，
∴直線的方程為21x-20y-42=0，
綜上，直線的方程為x=2或21x-20y-42=0；
（2）由題意，設P（

5

2

，n），l₃：y-n=k（x-

5

2

）；l₄：y-n=-

1

k

（x-

5

2

），
即kx-y+n-

5

2

k=0，

1

k

x+y-n+

5

2k

=0，
∵直線l₃被圓C₁截得的弦長與直線l₄被圓C₂截得的弦長相等，
∴

|4k-5+n- 5 2 k|

k2+1

=

|- 3 k +1-n+ 5 2k |

1 k2+1

，
化簡，得（-

1

2

-n）k=-

1

2

-n或（

21

2

-n）k=-

5

2

+n，
∵關于k的方程有無窮多解，
∴n=-

1

2

，即直線l₂上存在點P（

5

2

，-

1

2

），滿足過P的無窮多對互相垂直的直線l₃和l₄，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₃被圓C₁截得的弦長與直線l₄被圓C₂截得的弦長相等．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，對稱的知識，注意方程無數解的條件，考查轉化思想，函數與方程的思想，常考題型．