Question

【題目】數列滿足，，．

（1）設，證明是等差數列；

（2）求的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即可證得；

（2）由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1，進而利用累加求通項公式即可.

試題解析：

（1）證明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首項為1，公差為2的等差數列．

（2）解　由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.

于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2,經檢驗，此式對n=1亦成立，

所以，{an}的通項公式為an＝n2－2n＋2.