Question

一個簡單多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，它的主視圖和側視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形，E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求證：PC⊥BD；
（Ⅲ）求三棱錐C-PAB的體積．

Answer 1

分析：（I）連接BD，BD∩AC=O，連接OE，根據三角形中位線定理，可得BP∥OE，根據線面平行的判定定理，我們即可得到PB∥平面ACE；
（Ⅱ）由已知俯視圖為正方形，主視圖和側視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，我們易得到AC⊥BD，PA⊥BD，根據線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質，即可得到PC⊥BD；
（Ⅲ）由已知中主視圖和側視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形，我們易得底面為邊長為1的正方形，高為1，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（I）連接BD，BD∩AC=O，連接OE，
易知OE是△BPD的中位線，
∴BP∥OE，
OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（II）∵俯視圖為正方形，
即ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
PA∩AC=A，BD⊥平面PAC．
PC?平面PAC．
∴PC⊥BD
解：（III）由已知正方形ABCD的邊長為1，
PA=1，
V_C-PAB=V_P-ABC=

1

3

•

1

2

•1•1•1=

1

6

．

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，線面平行的判定，及線面垂直的判定和性質，其中（1）的關鍵是找到BP∥OE，（2）的關鍵是證出BD⊥平面PAC，（3）的關鍵是判斷幾何的棱長及幾何體的形狀．