Question

（1）已知f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常數a，b∈Q時，使得f（x）的值域為[-3，

3

-1]？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．
（2）若關于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-

π

6

，

π

6

]內有實數根，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數的定義域，得sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，然后分a的正負進行討論，建立關于a、b的方程組，解之可得存在a=-1，b=1，符合題意；
（2）將原方程整理，得a²-2a=2（sinx+

1

4

）²-

17

8

，由當x∈[-

π

6

，

π

6

]時sinx∈[-

1

2

，

1

2

]，從而得到2（sinx+

1

4

）²-

17

8

的最大最小值，得原方程在[-

π

6

，

π

6

]內有實數根，則a²-2a∈[-

17

8

，-1]，再解關于a的不等式即可得到實數a的范圍．

解答：（1）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，則2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]---------（3分）
①當a＞0時，則

2a+2a+b= 3 -1 - 3 a+2a+b=-3

，解得a=1，b=

3

-5，此時b∉Q舍去；
②當a＜0時，則

2a+2a+b=-3 - 3 a+2a+b=-1+ 3

，解得a=-1，b=1，符合題意
綜上所述，存在a=-1，b=1，使f（x）的值域為[-3，

3

-1]．----------------（7分）
（2）方程方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0，
化簡為：a²-2a=2（sinx+

1

4

）²-

17

8

，x∈[-

π

6

，

π

6

]
∵sinx在x∈[-

π

6

，

π

6

]的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]
∴2（sinx+

1

4

）²-

17

8

的最大值為-1，最小值為-

17

8

因此，若原方程在[-

π

6

，

π

6

]內有實數根，則a²-2a∈[-

17

8

，-1]
解不等式組-

17

8

≤a²-2a≤-1，得a=1，
即關于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-

π

6

，

π

6

]內有實數根時，實數a的范圍是{1}．

點評：本題給出三角函數表達式，討論使得函數值域為已知區間的參數取值范圍．著重考查了三角函數的圖象與性質、三角函數的最值和二次函數在閉區間上的值域等知識，屬于中檔題．