Question

19、如圖：在三棱錐S-ABC中，已知點D、E、F分別為棱AC、SA、SC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若SA=SC，BA=BC，求證：平面SBD⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證EF∥平面ABC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABC內一直線平行，而EF是△SAC的中位線，則EF∥AC．又EF?平面ABC，AC?平面ABC，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證平面SBD⊥平面ABC，根據面面垂直的判定定理可知在平面ABC內一直線與平面SBD垂直，而SD⊥AC，BD⊥AC，又SD∩DB=D，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面SBD，又AC?平面ABC，從而得到結論．

解答：證明：（Ⅰ）∵EF是△SAC的中位線，
∴EF∥AC．又∵EF?平面ABC，AC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）∵SA=SC，AD=DC，∴SD⊥AC．
∵BA=BC，AD=DC，∴BD⊥AC．
又∵SD?平面SBD，BD?平面SBD，SD∩DB=D，
∴AC⊥平面SBD，又∵AC?平面ABC，
∴平面SBD⊥平面ABC．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及面面的垂直的判定，同時考查空間想象能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于基礎題．