Question

若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x²-4x（如圖）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并補(bǔ)齊函數(shù)f（x）的圖象；
（2）用定義證明：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），由f（x）為奇函數(shù)和已知條件，求得f（x）=-f（x）的解析式，從而得到在R上的解析式，作出函數(shù)圖象．
（Ⅱ）任取1≤x₁＜x₂，證得f（x₁）-f（x₂）=（2x12-4x₁）-（2x22-4x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函數(shù) y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答：解：（Ⅰ） 任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
由f（x）為奇函數(shù)，
則f（x）=-f（x）=-[2（-x）²-4（-x）]=-2x²-4x．…（1分）
綜上所述，f（x）=

2x2-4x ， x≥0 -2x2-4x ，x＜0

．…（2分）
如圖所示：（4分）
（Ⅱ）任取1≤x₁＜x₂，…（5分）
則f（x₁）-f（x₂）=（2x12-4x₁）-（2x22-4x₂） …（6分）
=2（x12-x22）-4（x₁-x₂）=2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]．…（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂ ＞2，∴（x₁+x₂）-2＞0，
∴2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù) y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，作函數(shù)的圖象，屬于中檔題．