Question

定義，
（Ⅰ）令函數，過坐標原點O作曲線C：的切線，切點為P（n>0），設曲線C與及y軸圍成圖形的面積為S，求S的值。
（Ⅱ）令函數,討論函數是否有極值，如果有，說明是極大值還是極小值。
（Ⅲ）證明：當

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）當時，有極小值，沒有極大值（Ⅲ）見解析

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，以及定積分的綜合運用。
（1） ，
，，
曲線C與y軸交點為A（0，1）
又過坐標原點O向曲線C作切線，切點為P（n，t）（n>0），
，切線方程為
（2），。
，
那么對于參數a分類討論得到單調性得到極值。
（3）令
又令 
兩次構造函數結合導數得到結論。解：（Ⅰ） ，
，，
曲線C與y軸交點為A（0，1）……………1分
又過坐標原點O向曲線C作切線，切點為P（n，t）（n>0），
，切線方程為…………3分
          ………………5分
（Ⅱ），。
   ………………6分
1）。當即時，（），
在單調遞增從而沒有極值； ………………7分
2）。當即時，方程有二個不等實根
，， 
若，則，，
在單調遞增從而沒有極值； ………………8分
若，則。當；當
當時，有極小值，沒有極大值。 ………………9分
（Ⅲ）令，…………10分
又令 ，
單調遞減.……………………11分

單調遞減，………………12分
，
………………14分